1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей: 1. Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників:

Свойства квадратного корня - корень произведения равен произведению корней. Властивості квадратного кореня - корінь твору дорівнює твору коріння.

морской a≥0, b≥0


2. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя: 2. Квадратний корінь з дробу, чисельник якої ненегативний, а знаменник - позитивний, дорівнює кореню з чисельника, розділеному на корінь із знаменника:

Свойства квадратного корня. Корень частного равен частному корней.

a≥0, b>0


Чтобы извлечь квадратный корень из многочлена, надо вычислить многочлен и из полученного числа извлечь корень.

Внимание! Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого (уменьшаемого и вычитаемого) отдельно.

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з многочлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага! Не можна витягати корінь з кожного додатку (зменшуваного і від’ємного) окремо.

Наприклад:


Вычисление значения квадратного корня, в подкоренном выражении которого сумма или разность. Обчислення значення квадратного кореня, в підкорінному вираженні якого сума або різниця.

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения (частного), можно вычислить корень квадратный из каждого множителя (делимого и делителя), а полученные значения взять произведением (частным).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).

Наприклад:


Свойства квадратного корня. Извлечение корня из произведения и частного двух чисел. Властивості квадратного кореня. Витягання кореня з твору і приватного двох чисел.

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, надо извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно, а полученные значения оставить дробью или вычислить как частное (если возможно это по условию).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частку (якщо можливо це за умовою).

Наприклад:


Извлечение квадратного корня из простой дроби. Витягання квадратного кореня з простого дробу.

Из-под знака корня можно вынести множитель и можно внести множитель под знак корня. При вынесении множителя из него извлекается корень, а при внесении - он возводится в соответствующую степень.

Например:

З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні - він зводиться у відповідну ступінь.

Наприклад:


Преобразование квадратного корня через произведение корней. Перетворення квадратного кореня через перемноження коріння.

Если корень в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной ей дробью, не содержащей радикалов (корней) в знаменателе. Для этого умножают числитель и знаменатель дроби на такое выражение (сопряженное знаменателю), чтобы корень в знаменателе извлекался. Якщо корінь в знаменнику дробу, то такий дріб можна замінити тотожним йому дробом, що не містить радикалів (коренів) у знаменнику. Для цього множать чисельник і знаменник дробу на такий вираз (поєднане зі знаменником), щоб корінь в знаменнику видалявся.


1. Избавиться от радикала в знаменателе дроби: 1. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:


Убрать радикал в знаменателе дроби путем ее преобразования

2. Избавиться от радикала в знаменателе дроби: 2. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:

Убрать радикал в знаменателе дроби через свойства корня

3. Избавиться от радикала в числителе дроби: 3. Позбутися від радикала в чисельнику дробу:

Убрать радикал в числителе дроби путем ее преобразования. Прибрати радикал в чисельнику дробу шляхом її перетворення.

Освобождение дроби от радикалов в числителе (в знаменателе) дроби называется преобразованием алгебраической дроби. Звільнення дробу від радикалів у чисельнику (в знаменнику) дробу називається перетворенням алгебраїчного дробу.

Чтобы преобразовать сумму (разность) квадратных корней, нужно привести подкоренные выражения к одному основанию степени, если это возможно, извлечь корни из степеней и записать их перед знаками корней, а оставшиеся квадратные корни с одинаковыми подкоренными выражениями можно сложить, для чего складываются коэффициенты перед знаком корня и дописывается тот же квадратный корень.

Пример 4:

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а решта квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той же квадратний корінь.

Приклад 4:


Нахождение суммы квадратных корней. Знаходження суми квадратних кореней.

Приведем все подкоренные выражения к основанию 2. 

Из четной степени корень извлекается полностью, из нечетной степени корень основания в степени 1 оставляем под знаком корня. 

Приводим подобные целые числа и коэффициенты складываем с одинаковыми корнями. Запишем двучлен как произведение числа и двучлена суммы.

Пример 5:

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2. 

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи в ступені 1 залишаємо під знаком кореня. 

Наводимо подібні цілі числа і коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена суми.

Приклад 5:


Сложение и вычитание корней.

Приводим подкоренные выражения к наименьшему основанию или произведению степеней с наименьшими основаниями. Из четных степеней подкоренных выражений извлекаем корень, остатки в виде основания степени с показателем 1 или произведением таких оснований оставляем под знаком корня. Приводим подобные члены (складываем коэффициенты одинаковых корней).

Пример 6:

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів).

Приклад 6:


Пример деления дробей с разным знаменателем под квадратным корнем. Приклад ділення дробів з різним знаменником під квадратним коренем.



Заменим деление дробей на умножение (с заменой второй дроби на обратную). Перемножим отдельно числители и знаменатели дробей. Под каждым знаком корня выделим степени. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Извлечем корни из четных степеней.

Пример 7:

Замінимо ділення дробів на множення (з заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники і знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступені. Скоротимо однакові множники в чисельнику і знаменнику. Винесемо коріння з парних ступенів.

Приклад 7:


Сравнение двух выражений, содержащих знак квадратного корня путем их приведения к сопоставимому виду. Порівняння двох виразів, що містять знак квадратного кореня шляхом їх приведення до порівнянного вигляду.


Чтобы сравнить два квадратных корня, их подкоренные выражения надо привести в степени с одинаковым основанием, тогда чем больше показать степени подкоренного выражения, тем больше значение квадратного корня.

В этом примере привести к одному основанию подкоренные выражения нельзя, так как в первом основание 3, а во втором – 3 и 7.

Второй способ сравнения состоит в том, чтобы внести коэффициент корня в подкоренное выражение и сравнить числовые значения подкоренных выражений. У квадратного корня чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Пример 8:

Щоб порівняти два квадратних кореня, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більше показник степеня підкореневого виразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до одної основи підкорені вирази не можна, так як в першому основа 3, а у другому - 3 і 7.

Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більше підкореневий вираз, тим більше значення кореня.

Приклад 8:


Преобразование корней

Используя распределительный закон умножения и правило умножения корней с одинаковыми показателями (в нашем случае – квадратных корней), получили сумму двух квадратных корней с произведением под знаком корня. Разложим 91 на простые множители и выносим корень за скобки с общими подкоренными множителями (135).

Мы получили произведение корня и двучлена, у которого один из одночленов целое число (1).

Пример 9:

Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (в нашому випадку - квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів з добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (135).

Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один з одночленів ціле число (1).

Приклад 9:

Преобразование квадратных корней



В подкоренных выражениях выделим множителями числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Извлечем квадратные корни из степеней и поставим числа коэффициентами квадратных корней.

У членов данного многочлена есть общий множитель √3, который можно вынести за скобки. Приведем подобные слагаемые.

Пример 10:

У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.

У членів даного многочлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.

Приклад 10:


Преобразование корней



Произведение суммы и разности двух одинаковых оснований (3 и √5) по формуле сокращенного умножения можно записать как разность квадратов оснований.

Корень квадратный в квадрате всегда равен подкоренному выражению, поэтому мы избавимся от радикала (знака корня) в выражении.

Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) з формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому виразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.

751974.9513  

 Квадратный корень. Квадратний корінь | Описание курса | Таблица степеней натуральных чисел 

   


Закрыть ... [X]

Евреи и секс Статусы на французском с переводом и со смыслом

Вышивка с морской тематикой фото Вышивка с морской тематикой фото Вышивка с морской тематикой фото Вышивка с морской тематикой фото Вышивка с морской тематикой фото Вышивка с морской тематикой фото