1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей: 1. Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників:

Свойства квадратного корня - корень произведения равен произведению корней. Властивості квадратного кореня - корінь твору дорівнює твору коріння.

a≥0, b≥0


2. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя: 2. Квадратний корінь з дробу, чисельник якої ненегативний, а знаменник - позитивний, дорівнює кореню з чисельника, розділеному на корінь із знаменника:

Свойства квадратного корня. Корень частного равен частному корней.

a≥0, b>0


Чтобы извлечь квадратный корень из многочлена, надо вычислить многочлен и из полученного числа извлечь корень.

Внимание! Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого (уменьшаемого и вычитаемого) отдельно.

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з многочлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага! Не можна витягати корінь з кожного додатку (зменшуваного і від’ємного) окремо.

Наприклад:


Вычисление значения квадратного корня, в подкоренном выражении которого сумма или разность. Обчислення значення квадратного кореня, в підкорінному вираженні якого сума або різниця.

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения (частного), можно вычислить корень квадратный из каждого множителя (делимого и делителя), а полученные значения взять произведением (частным).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).

Наприклад:


Свойства квадратного корня. Извлечение корня из произведения и частного двух чисел. Властивості квадратного кореня. Витягання кореня з твору і приватного двох чисел.

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, надо извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно, а полученные значения оставить дробью или вычислить как частное (если возможно это по условию).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частку (якщо можливо це за умовою).

Наприклад:


Извлечение квадратного корня из простой дроби. Витягання квадратного кореня з простого дробу.

Из-под знака корня можно вынести множитель и можно внести множитель под знак корня. При вынесении множителя из него извлекается корень, а при внесении - он возводится в соответствующую степень.

Например:

З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні - він зводиться у відповідну ступінь.

Наприклад:


Преобразование квадратного корня через произведение корней. Перетворення квадратного кореня через перемноження коріння.

Если корень в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной ей дробью, не содержащей радикалов (корней) в знаменателе. Для этого умножают числитель и знаменатель дроби на такое выражение (сопряженное знаменателю), чтобы корень в знаменателе извлекался. Якщо корінь в знаменнику дробу, то такий дріб можна замінити тотожним йому дробом, що не містить радикалів (коренів) у знаменнику. Для цього множать чисельник і знаменник дробу на такий вираз (поєднане зі знаменником), щоб корінь в знаменнику видалявся.


1. Избавиться от радикала в знаменателе дроби: 1. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:


Убрать радикал в знаменателе дроби путем ее преобразования

2. Избавиться от радикала в знаменателе дроби: 2. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:

Убрать радикал в знаменателе дроби через свойства корня

3. Избавиться от радикала в числителе дроби: 3. Позбутися від радикала в чисельнику дробу:

Убрать радикал в числителе дроби путем ее преобразования. Прибрати радикал в чисельнику дробу шляхом її перетворення.

Освобождение дроби от радикалов в числителе (в знаменателе) дроби называется преобразованием алгебраической дроби. Звільнення дробу від радикалів у чисельнику (в знаменнику) дробу називається перетворенням алгебраїчного дробу.

Чтобы преобразовать сумму (разность) квадратных корней, нужно привести подкоренные выражения к одному основанию степени, если это возможно, извлечь корни из степеней и записать их перед знаками корней, а оставшиеся квадратные корни с одинаковыми подкоренными выражениями можно сложить, для чего складываются коэффициенты перед знаком корня и дописывается тот же квадратный корень.

Пример 4:

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а решта квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той же квадратний корінь.

Приклад 4:


Нахождение суммы квадратных корней. Знаходження суми квадратних кореней.

Приведем все подкоренные выражения к основанию 2. 

Из четной степени корень извлекается полностью, из нечетной степени корень основания в степени 1 оставляем под знаком корня. 

Приводим подобные целые числа и коэффициенты складываем с одинаковыми корнями. Запишем двучлен как произведение числа и двучлена суммы.

Пример 5:

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2. 

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи в ступені 1 залишаємо під знаком кореня. 

Наводимо подібні цілі числа і коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена суми.

Приклад 5:


Сложение и вычитание корней.

Приводим подкоренные выражения к наименьшему основанию или произведению степеней с наименьшими основаниями. Из четных степеней подкоренных выражений извлекаем корень, остатки в виде основания степени с показателем 1 или произведением таких оснований оставляем под знаком корня. Приводим подобные члены (складываем коэффициенты одинаковых корней).

Пример 6:

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів).

Приклад 6:


Пример деления дробей с разным знаменателем под квадратным корнем. Приклад ділення дробів з різним знаменником під квадратним коренем.



Заменим деление дробей на умножение (с заменой второй дроби на обратную). Перемножим отдельно числители и знаменатели дробей. Под каждым знаком корня выделим степени. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Извлечем корни из четных степеней.

Пример 7:

Замінимо ділення дробів на множення (з заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники і знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступені. Скоротимо однакові множники в чисельнику і знаменнику. Винесемо коріння з парних ступенів.

Приклад 7:


Сравнение двух выражений, содержащих знак квадратного корня путем их приведения к сопоставимому виду. Порівняння двох виразів, що містять знак квадратного кореня шляхом їх приведення до порівнянного вигляду.


Чтобы сравнить два квадратных корня, их подкоренные выражения надо привести в степени с одинаковым основанием, тогда чем больше показать степени подкоренного выражения, тем больше значение квадратного корня.

В этом примере привести к одному основанию подкоренные выражения нельзя, так как в первом основание 3, а во втором – 3 и 7.

Второй способ сравнения состоит в том, чтобы внести коэффициент корня в подкоренное выражение и сравнить числовые значения подкоренных выражений. У квадратного корня чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Пример 8:

Щоб порівняти два квадратних кореня, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більше показник степеня підкореневого виразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до одної основи підкорені вирази не можна, так як в першому основа 3, а у другому - 3 і 7.

Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більше підкореневий вираз, тим більше значення кореня.

Приклад 8:


Преобразование корней

Используя распределительный закон умножения и правило умножения корней с одинаковыми показателями (в нашем случае – квадратных корней), получили сумму двух квадратных корней с произведением под знаком корня. Разложим 91 на простые множители и выносим корень за скобки с общими подкоренными множителями (135).

Мы получили произведение корня и двучлена, у которого один из одночленов целое число (1).

Пример 9:

Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (в нашому випадку - квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів з добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (135).

Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один з одночленів ціле число (1).

Приклад 9:

Преобразование квадратных корней



В подкоренных выражениях выделим множителями числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Извлечем квадратные корни из степеней и поставим числа коэффициентами квадратных корней.

У членов данного многочлена есть общий множитель √3, который можно вынести за скобки. Приведем подобные слагаемые.

Пример 10:

У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.

У членів даного многочлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.

Приклад 10:


Преобразование корней



Произведение суммы и разности двух одинаковых оснований (3 и √5) по формуле сокращенного умножения можно записать как разность квадратов оснований.

Корень квадратный в квадрате всегда равен подкоренному выражению, поэтому мы избавимся от радикала (знака корня) в выражении.

Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) з формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому виразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.

751974.9513  

 Квадратный корень. Квадратний корінь | Описание курса | Таблица степеней натуральных чисел 

   


Закрыть ... [X]

Цитаты в теме «правота» t Полоскание для десен при воспалении народные средства

Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла Статусы забыть не смогла